suites de réels, de complexes (cours de sup), notamment : plan d'étude d'une suite récurrente un+1 =
f(un) ;
fontions usuelles (idem) ;
structures : espaces vectoriels (idem).
ANALYSE
1 SUITES ET FONCTIONS
1.3 Suites et séries de nombres réels ou complexes
1.3.1 Suites et séries
§ Exemples d'étude de suites de nombres réels ou complexes
définies par une relation de récurrence un+1 =
f(un) et d'emploi
d'une telle suite pour l'approximation d'un point fixe a de f. Pour étudier la vitesse de convergence de un vers a, les étudiants doivent savoir exploiter le comportement local de
f au voisinage de a et, notamment, une inégalité
du type lipschitzien |f(x)−f(a)| ≤ k|x−a| où 0 ≤ k < 1, ou du type |f(x)−f(a)| ≤ λ|x−a|2.
Série ∑un associée à une suite (un) de nombres
réels ou complexes, suite (sp) des sommes partielles de cette série. Il convient de mettre en valeur et d'exploiter la correspondance
bijective entre suites et séries.
Définition d'une série convergente et de sa somme, notée
∑n=0∞un. Espace vectoriel des séries convergentes. Si la série ∑un converge, un tend vers
0 ; la réciproque est fausse.
Caractérisation de la convergence d'une série de nombres complexes
à l'aide des parties réelle et imaginaire.
Convergence d'une série réelle alternée dont la valeur absolue du
terme général décroît et tend vers zéro ; majoration du reste.
Aucune autre connaissance spécifique sur les séries semi-convergentes
n'est exigible des étudiants.
1.3.2 Séries de nombres réels positifs
Pour qu'une série ∑un de nombres positifs converge, il faut et il
suffit que la suite (sp) des sommes partielles soit majorée. Alors
∑n=0∞un = limpsp = suppsp.
Convergence des séries géométriques de nombres réels positifs,
convergence des séries de Riemann.
Théorème de comparaison des séries de nombres réels positifs :
soient (un) et (αn) des suites de nombres réels positifs
telles que un = O(αn) ; alors la convergence de
∑αn implique la convergence de∑un. Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une
série géométrique (règle de d'Alembert), à une série
de Riemann.
1.3.3 Séries de nombres réels ou complexes
Séries absolument convergentes (c'est-à-dire telles que ∑|un| < +∞).
Toute série absolument convergente est convergente (démonstration non exigible). En outre, |∑n=0∞un| ≤
∑n=0∞|un|.
Série géométrique : la série ∑zn, où z
appartient à C, est absolument convergente si, et seulement si,
|z| < 1 ; sa somme est alors égale à 1/(1−z). Si |z| ≥ 1, cette série diverge.
Série exponentielle : pour tout nombre complexe z, la série
∑zn/n! est absolument convergente.
Par définition, expz
= ∑n=0∞zn/n!
3.1 Séries de nombres réels ou complexes
3.1.1 Comparaison d'une série à une intégrale
Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une
intégrale : étant donnée une fonction f continue par morceaux
sur [0,+∞[ à valeurs réelles positives décroissante,
la série de terme général wn= ∫n−1nf(t) dt − f(n) est convergente. En particulier la série ∑f(n) converge si et
seulement si f est intégrable sur [0,+∞[.
La relation wn= ∫n−1n(f(t) −f(n))
dt permet d'encadrer wn ; un encadrement analogue
peut être obtenu lorsque f est croissante.
Équivalent de n! (formule de Stirling).
La démonstration de la formule de Stirling n'est pas exigible des
étudiants.
§ Pour une série de nombres réels positifs, exemples d'encadrement
du reste d'une série convergente, des sommes partielles d'une série
divergente ; exemples de recherche de valeurs approchées de la somme d'une
série convergente.
Il convient notamment d'exploiter la comparaison d'une série à
une intégrale.
Exemples d'étude du comportement asymptotique des restes d'une série
convergente, des sommes partielles d'une série divergente.
3.1.2 Produit de deux séries absolument convergentes [sous réserve d'avancement du cours]
Définition du produit de Cauchy ∑wn de deux séries ∑un et ∑vn de nombres complexes : wn
= ∑p+q=nupvq. Si les séries ∑un et ∑vn sont absolument convergentes,
∑wn l'est aussi (démonstration non exigible des étudiants).
Dans ce cas, ∑n=0∞wn
= (∑p=0∞up)(∑q=0∞vq
).
