I.       Méthode du point fixe

Pour calculer le(s) point(s) fixe(s) d'une fonction f , on utilise une suite récurrente définie par la donnée de  dans R  et la relation de récurrence

  .

On rappelle que si f  est contractante  (càd, k -lipschitzienne avec une constante k< 1), l'écart entre  et le point fixe  (alors unique) de f   est majoré par

  . .

1.  Écrire une procédure pointFixe  prenant pour arguments f , , k  et la précision  souhaitée, et retournant une valeur approchée de  à la précision demandée.

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2.  Lorsque f  est la fonction  sur [ ,2], donner une estimation de k  et vérifier que la procédure précédente fournit bien une valeur approchée de  à  près.

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f :=

>

II.     Méthode de dichotomie

On cherche ici une valeur approchée d'une solution de l'équation " f ( x )=0", où f est une fonction continue sur [ a , b ] avec f ( a ) et f ( b ) de signes contraires.

On définit deux suites ( ) et ( ) en posant ,  et de proche en proche :

• si  a le même signe que  :  et  ;
• si  a le même signe que  : et  .

On vérifie alors que les suites ( ) et ( ) sont  adjacentes, convergentes vers une solution  de l'équation " f ( x )=0", et que l'errreur commise en remplaçant  par  ( resp. ) est majorée par .

1.  Écrire une procédure dicho  prenant pour arguments f , a , b  et la précision souhaitée, et retournant une valeur approché de  à la précision demandée.

>

2.  Lorsque f est la fonction , utiliser la procédure précédente pour calculer une valeur approchée de  à  près.

>

f :=

>

III.   Méthode de Newton

On rappelle que cette méthode permet de calculer de manière approchée la solution  d'une équation

en itérant la suite définie par le choix de  (> ) et la relation de récurrence

,

L'erreur commise est contrôlée par

  . ,

où  ( resp. ) est un minorant ( resp majorant) de f'  ( resp. f'' ) sur [ a ,+ [ ( a  désignant une valeur <  supposée connue).

1.  Écrire une procédure Newton  dont les arguments sont f , a , , , , et la précision de l'approximation cherchée, et retournant une valeur  convenablement proche de .

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2.  On applique cette procédure à la fonction  (donc : ).

    (a)   Constater que les valeurs suivantes conviennent : , , , .

    (b)   Utiliser la procédure Newton  pour calculer une valeur approchée de  à  près.

>

f :=

>

IV.   Algorithme de Héron

L'algorithme de Héron d'Alexandrie permet depuis plus de vingt siècle de calculer des valeurs approchées de la racine carrée d'un reél positif . Il repose sur l'itération de la suite ( ) définie par la donnée de  >  (max( ,1) convient) et la relation de récurrence :

  .( ).

L'erreur est majorée par

  ,

où .

1.  Écrire une procédure Heron  prenant pour arguments a  (< ), ,  et la précision souhaitée, et retournant une approximation de  de la précision demandée.

>

2.  Lorsque  et , constater que  convient et utiliser la procédure précédente pour calculer une valeur approchée de  à  près.

>

V.     Calcul approché de e

e  est par définition la limite de la suite ( ) définie par :

(1)  .

Mais si d'autre part , (avec ), on montre que ( ) et ( ) sont adjacentes et encadrent e  avec une erreur ne dépassant pas .

1.  Écrire une procédure E  prenant un seul argument, la précision demandée, et retournant une approximation de e  avec cette précision.

Dans le souci de ne faire aucun calcul inutile, on évitera de faire appel à la fonction factorielle. On utilisera plutôt un calcul de proche en proche.

>

2.  Utiliser cette procédure pour obtenir une approximation de e à  près.

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3.  Quel problème présente cette procédure ? Comment pourrait-on le résoudre ?

VI.    Méthode d'Archimède

Rappelons que la méthode d'Archimède pour le calcul de  consiste à encadrer ce dernier par deux suites ( ) et ( ) définies par , , les relations de récurrence

   et ,

et enfin .

L'erreur commise ne dépasse pas , expression qui ne se simplifie pas favorablement et que l'on recalculera à chaque étape.

1.  Écrire une procédure Archimede  prenant comme unique argument la précision demandée, et retournant une valeur approchée de  correspondant à cette précision.

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2.  Grâce à cette procédure, calculer une valeur approchée de  à  près.

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VII.  Formule d'Euler

On peut aussi approximer  en utilisant les formules en arctan inventées par Euler au XVIIIème siècle. Par exemple

  .

Si l'on arrête la somme à l'indice N , l'erreur commise est majorée par .

1.  Écrire une procédure Euler  prenant comme unique argument la précision cherchée et calculant les termes de la somme précédente jusqu'à ce que l'erreur devienne inférieure à la précision demandée.

Dans un souci d'élégance et d'efficacité, on n'effectuera pas d'élévation à la puissance, mais seulement des multiplications, pour calculer les puissances de 3 de proche en proche, et ceci aussi bien pour le calcul de la somme que pour l'estimation de l'erreur.

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2.  Calculer grâce à la procédure précédente une valeur approchée de  à  près.

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VIII. Formule des trapèzes

Rappelons qu'une intégrale  peut être approximée à l'aide des sommes :

  , (formule des trapèzes)

avec  et . L'erreur est majorée par    (où ), mais on a intérêt à calculer directement  qui contient déjà tous les termes de .

1.  Écrire une procédure trapeze  prenant cinq arguments : la fonction f , a , b  (avec ),  et la précision demandée, et effectuant le calcul de proche en proche des  (en tirant parti de la remarque précédente) jusqu'à ce que l'erreur devienne inférieure à la précision souhaitée.

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2.  On s'intéresse à la fonction , pour laquelle l'intégrale de  à  est facile à calculer et vaut .

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f :=

    (a)   En étudiant  à l'aide de Maple , déterminer .

>

>

>

>

M2 :=

    (b)   Utiliser alors la procédure trapeze  pour obtenir une valeur approchée de I  à  près.

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