0. Expression des notions d'algèbre bilinéaire en Maple

Le package linalg  sert aussi à faire de l'algèbre bilinéaire ! L'appel ci-dessous se termine par un " ; "...

>	with(linalg);

... afin de voir la liste des fonctions contenues. Parmi celles-ci, rechercher :

• la norme euclidienne (c'est la "norme-2") ;
• le produit scalaire ( indication  : en Anglais, on l'appelle produit ponctuel , et un point se dit...)  ;
• le produit vectoriel (qui s'appelle produit en croix en Anglais) .

1. Calcul de la distance à un s.e.v.

On se propose de retrouver le calcul, fait en exercice, de la quantité suivante :

Définir le produit scalaire approprié à ce calcul.

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Définir les fonctions f :  et  : .

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Écrire les trois conditions caractérisant le projeté orthogonal de la fonction  sur l'espace des fonctions polynomiales de degré . On placera ces trois équations dans un ensemble .

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Résoudre le système formé par les trois conditions précédentes et affecter dans a , b  et c  les valeurs correspondantes ( assign ).

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a , b  et c  contenant maintenant les bonnes valeurs, faire effectuer par Maple  le calcul approprié à la détermination de .

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2. Étude de matrice orthogonale

Définir la matrice A suivante, qui représente l'endomorphisme f  de  dans la base canonique (utiliser array  ou matrix ) :

  .

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En multipliant A  par sa transposée, vérifier que A  est bien une matrice orthogonale. Ne pas oublier evalm  et &* .

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Calculer  et en déduire la nature géométrique de f.

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Calculer la trace de A et en déduire la valeur de " " (notation du cours).

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Définir la matrice identité  (penser à l'option identity  de array ). Utiliser l'instruction linsolve  ( aide ) pour trouver l'axe de la rotation f.

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L'ensemble des solutions prend la forme d'un triplet dépendant d'un paramètre _t1  -- c'est une variable utilisée par Maple . Donner à celle-ci une valeur quelconque afin d'obtenir un vecteur directeur  de l'axe de f.

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Attention,  est un vecteur. Pour le réutiliser (le multiplier par un scalaire, puis l'inclure dans une matrice de passage) il faut le transformer en liste ( convert(...,list) ) et le développer ( expand ), de telle sorte que le coefficient scalaire soit distribué.

Normer , et effectuer les manipulations ci-dessus en appelant a le résultat.

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Choisir n'importe quel vecteur  orthogonal à a  et effectuer les même opérations que pour .

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Faire calculer par Maple le vecteur c tel que ( a , b , c ) soit une BON de E . Normer et développer c  comme a  et b.

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À l'aide éventuellement d'un schéma, retrouver une expression de " " et la faire calculer par Maple .

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À titre de vérification, définir la matrice de passage P  de la base canonique à ( a , b , c ), c'est à dire la matrice dont les colonnes  (attention !) sont les vecteurs a , b et c.

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Utiliser alors cette matrice pour déterminer la forme "simple" d'une matrice semblable à A  et retrouver ainsi les valeurs calculées de  et .

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