I.     Algorithme de Horner

Il s'agit de calculer la valeur en un point d'un polynôme en ne faisant que  des additions et des multiplications, grâce à l'écriture de +...+  sous la forme :

P  = (( ... ( ) ) X + ... + )

Bien sûr, Maple  sait calculer sur les polynômes, mais on n'utilisera pas cette possibilité dans cet exercice. On représentera un polynôme par la succession de ses coefficients , ..., ,  si + ... + .
On va écrire une procédure horner  prenant comme arguments , ..., ,  et retournant P (X). Donc : le nombre d'arguments de horner  va être variable ; on aura à utiliser args  et nargs  ( aide ), et l'en-tête de la procédure sera de la forme horner:=proc() . Attention,  va être le  argument (" args[1] "), car c'est par lui que le calcul commence.

1. Version itérative . Ecrire la procédure horner  en effectuant les additions et les multiplications à l'aide d'une boucle for . On pourra gérer une variable P  dans la procédure, qui commencera par valoir 0 puis , puis , puis  et ainsi de suite.

>

2. Version récursive . Pour éviter d'avoir à utiliser une variable, écrire une procédure horner2  sous forme récursive (s'appelant elle-même).

>

3.   Tester les deux procédures ci-dessus en calculant p. ex. le polynôme , ce qui doit répondre à la formule horner(1,2,3)  ( resp . horner2(1,2,3) ).

>

>

II.    Polynômes interpolateurs de Lagrange

Le  polynôme interpolateur élémentaire de Lagrange associé aux réels ,...,  (deux à deux distincts) est défini pour tout entier k entre 1 et n par :  

 ,

où le produit est étendu aux indices  tels que .

1.  On ne fixe pas n , mais on va écrire une procédure L  prenant un nombre   variable d'arguments ( cf. I) dont les n  premiers seront ,...,  et le dernier, l'entier k . On pourra supposer que k  est bien compris entre 1 et n  (càd, on n'en programmera pas la vérification, et une erreur se produira si ce n'est pas le cas). Le calcul de  pour  en ( ,..., ) s'effectuera donc par L(x1,x2,x3,x4,x5,2)  et devra retourner :

  .

>

2.  Lorsque ,...,  sont n réels, on vérifie qu'on obtient un polynôme P tel que ,...,  par l'expression :

  .

On se propose d'effectuer ce calcul lorsque les  sont les valeurs  d'une fonction f supposée définie en Maple .

En utilisant une simple instruction de sommation, écrire une procédure P  prenant comme arguments (en nombre variable) les réels ,...,  et réalisant le calcul souhaité. On réutilisera bien sûr la fonction L  du 1 . La fonction f (non précisée) sera une variable globale. Tester.

>

3.  Dans le cas où , , ,  et , expliciter l'expression de  et tracer sur un même schéma  et .

>

>