I.     Détermination de la valeur approchée d'une limite

On définit la suite ( ) pour n > 0 par :

On a prouvé en exercice que cette suite est croissante et convergente, mais sans savoir calculer sa limite. On se propose de déterminer en Maple une valeur approchée de celle-ci.

1.   Définissez cette suite en Maple. (Attention, on ne cherchera pas à calculer   en fonction de .)

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2.   Testez votre définition. Celle-ci doit faire apparaître l'empilement de radicaux qui compose .

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3.   Pour les calculs numériques, introduisez dans votre définition de  une approximation ( evalf ) après chaque étape du calcul (càd, chaque   ).

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4.   Calculer , , . Que peut-on conjecturer ?

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II.    Suite récurrente

Il s'agit d'étudier la suite définie  et par la relation de récurrence :

1.  Programmer le calcul d'un terme de la suite d'indice quelconque. Tester.

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2.  Calculer  pour n Î [100,105] et commenter le résultat obtenu.

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3.  Définir en Maple les fonctions g  et h  faisant passer de  à  et de  à  respectivement. Les représenter graphiquement (avec la droite d'équation  sur le même schéma). Chercher des valeurs (au moins approchées, si possible exactes) des points fixes de ces fonctions.

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III.  Visualisaton des suites récurrentes

Pour une suite récurrente  telle que  ou encore  on peut visualiser les valeurs successives prises par la suite à l'aide d'un tracé en zig-zag. On souhaite faire effectuer cette représentation par Maple.

1.  Regardez dans l'aide sur plot  quelle syntaxe permet de représenter des lignes brisées.

2.  Dans chacun des exemples ci-dessus, construisez la structure qu'il faut fournir à plot  comme argument, pour représenter les 20 (p. ex.) premiers termes de la suite ( ).

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3.  Représentez alors ces termes sur le même schéma que la fonction f . (Pour cela, utilisez la fonction display  qui nécessite au préalable une instruction with(plots): .)

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IV.  Moyenne arithmético-géométrique

Etant donnés deux nombres positifs a  et b  on définit les suites ( ) et ( ) par : ,  et :

On montre en exercice que les suites ( ) et ( ) sont convergentes vers une même limite notée  : moyenne arithmético-géométrique de a et b.

1.  Programmez le calcul (simultané) de  et  en fonction de n . On utilisera pour cela une procédure ( proc(a,b,n) ) prenant a , b  et n  comme arguments. Testez.

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2.  Perfectionnez votre procédure pour en faire une autre, , qui s'arrête automatiquement lorsque . Testez.

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3.  Pour différentes valeurs de a  fixées :
     (a)  Définissez  ainsi que  et  (les moyennes usuelles).

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     (b)  Tracez sur un même schéma les courbes de f, g et h. Quelle remarque peut-on faire ?

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